[알고리즘] 이코테 - 그래프 이론(2)

신장트리

신장트리란 하나의 그래프가 있을때 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프

 

크루스칼 알고리즘

최소한의 비용으로 신장 트리를 찾아야 할 때 사용. 최소신장 트리 알고리즘 중 하나.

e.g., 두 도시 사이에 도로를 놓아 전체 도시가 서로 연결될 수 있게 도로를 설치하는 경우

 

크루스칼 알고리즘을 사용하면 가장 적은 비용으로 모든 노드를 연결할 수 있다. 그리디 알고리즘 중 하나.

 

모든 간선에 대하여 정렬을 수행한 후 가장 거리가 짧은 간선부터 집합에 포함시킴

(이때 사이클을 발생시킬 수 있는 간선의 경우, 집합에 포함시키지 않음)

1. 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬
2. 간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인한다.
3. 사이클이 발생하지 않는 경우 최소 신장 트리에 포함시킨다.
4. 사이클이 발생하는 경우 최소 신장 트리에 포함시키지 않는다.
5. 모든 간선에 대하여 반복

 

* 최소 신장 트리는 일종의 트리 자료구조이므로, 최종적으로 신장 트리에 포함되는 간선의 개수가 (노드개수-1) 개이다.

** 최소 시장 트리에 포함되어 있는 간선의 비용만 모두 더하면, 그 값이 최종 비용에 해당한다.

 

def find_parent(parent,x):
	# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
	if parent[x]!=x:
    	return find_parent(parent,parent[x])
    return parent[x]
    
def union_parent(parent,a,b):
    a=find_parent(parent,a)
    b=find_parent(parent,b)
    if a<b:
        parent[b]=a
    else:
        parent[a]=b

v,e=map(int,input().split()) #노드의 개수와 간선(union 연산)
parent=[0]*(v+1)


for i in range(1,v+1):
	parent[i]=i

################################# 동일 코드 ######################################

edges=[] #모든 간선을 담을 리스트
result=0 #최종 비용을 담을 변수

for _ in range(e):
	a,b,cost=map(int,input().split())
    edges.append((cost,a,b))
    
edges.sort()

for edge in edges:
	cost,a,b=edge
    if find_parent(parent,a)!=find_parent(parent,b):
    	union_parent(parent,a,b)
        result+=cost
        
print(result)

 

간선의 개수가 E개일 때, O(ElogE)의 시간 복잡도를 가짐. 가장 오래 걸리는 부분은 간선 정렬(O(ElogE): E개의 데이터 정렬)이다. 크루스칼 내부에서 사용되는 서로소 집합 알고리즘의 시간복잡도는 정렬 알고리즘의 시간 복잡도보다 작으므로 무시.

 

위상 정렬

정렬 알고리즘의 일종으로, 순서가 정해져 있는 일련의 작업을 차례대로 수행해야 할 때 사용할 수 있다.

위상 정렬이란 방향 그래프의 모든 노드를 방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것

e.g., 선수과목을 고려한 학습순서 설정

 

* 진입차수: 특정한 노드로 들어오는 간선의 개수

e.g., 선수과목이 2개인 과목은, 그래프 상 진입차수가 2이다.

1. 진입차수가 0인 노드를 큐에 넣는다
2. 큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복
2-1. 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 출발하는 간선을 그래프에서 제거한다.
2-2. 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다.

 

위 과정을 수행하는 동안 큐에서 빠져나간 노드를 순서대로 출력하면 그것이 위상 정렬을 수행한 결과가 된다.

한 단계에서 큐에 새롭게 들어가는 원소가 2개 이상인 경우, 위상정렬의 답안은 여러가지가 될 수 있다.

 

이때 모든 원소를 방문하기 전에 큐가 빈다면 사이클이 존재한다고 판단

사이클이 존재하는 경우 사이클에 포함되어 있는 원소 중에서 어떠한 원소도 큐에 들어가지 못하기 때문이다.

from collections import deque

v,e=map(int,input().split())
indegree=[0] *(v+1) # 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
graph=[[] for i in range(v+1)]

for _ in range(e):
	a,b=map(int,input().split())
    graph[a].append(b) # 정점 A에서 B로 이동 가능시
    indegree[b]+=1 #B의 진입 차수 1 증가
    
def topology_sort():
	result=[]
    q=deque()
    
    for i in range(1,v+1):
    	if indegree[i]==0:
        	q.append(i)
            
     while q: #큐가 빌 때까지
     	now=q.popleft()
        result.append(now)
        #해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1빼기
        for i in graph[now]:
        	indegree[i]-=1
            if indegree[i]==0:
            	q.append(i)
               
	for i in result:
    	print(i,end=' ')
        
topology_sort()

 

위상정렬의 시간복잡도는 O(V+E): 차례대로 모든 노드를 확인하면서, 해당 노드에서 출발하는 간선을 차례대로 제거. 결과적으로 노드와 간선을 모두 확인한다는 측면에서 O(V+E)의 시간이 소요.