[알고리즘] 이코테 - 그래프 이론(1)

그래프란?

노드와 노드 사이에 연결된 간선의 정보를 가지고 있는 자료구조. 알고리즘 문제 중 '서로 다른 객체가 연결되어 있다'는 설명이 있다면 그래프 알고리즘을 의심해보자. 그래프 자료구조 중 다양하게 사용되는 건 트리 자료구조. 트리 자료구조는 부모에서 자식으로 내려오는 계층적 모델(방향 그래프)에 속한다.

 

그래프의 구현방법은 인접행렬(2차원 배열), 인접 리스트(리스트)로 2가지 방식이 있다.

노드의 개수 V, 간선의 개수 E인 그래프에서 인접행렬을 이용하여 간선 정보를 저장하기 위해서 O(V^2)만큼의 메모리 공간 필요. 인접 리스트 이용 시 간선의 개수만큼인 O(E)의 메모리 공간 필요

인접행렬을 특정한 노드 A에서 다른 특정한 노드 B로 이어진 간선의 비용을 O(1)의 시간으로 즉시 알 수 있다. 인접 리스트를 이용할 때는 O(V)만큼의 시간 소요.

 

서로소 집합

서로소 집합은 공통원소가 없는 두 집합이다. 서로소 집합 자료구조는 서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조. union과 find 연산으로 조작 가능한 자료구조이다.

union 연산은 2개의 원소가 포함된 집합을 하나의 집합으로 합치는 연산

find 연산은 특정한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산

 

서로소 집합 자료구조를 구현할 때는 트리 자료구조를 이용하여 집합 표현.

트리를 이용해 서로소 집합을 계산하는 알고리즘(AA와 BB 중 더 번호가 작은 원소가 부모 노드가 되도록 구현하기도 함)

1. union 연산을 확인하여 서로 연결된 두 노드 A,B를 확인
2. A와 B의 루트노드 AA,BB를 각각 찾는다.
3. AA를 BB의 부모 노드로 설정한다(=BB가 AA를 가리키도록 한다.)
4. 모든 union 연산을 처리할 때까지 반복.

 

소스코드로 바꿀시, 부모테이블을 초기화해야 한다. 이때 모든 원소가 자기자신을 부모로 가지도록 설정한다. 부모 테이블은 특정 노드에 대한 부모 정보만을 저장하고 있다. 실제로 루트를 확인하고자 할 때는 재귀적으로 부모를 거슬러 올라가서 최종적인 루트 노드를 찾아야 한다.

def find_parent(parent,x):
	# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
	if parent[x]!=x:
    	return find_parent(parent,parent[x])
    return x
    
def union_parent(parent,a,b):
    a=find_parent(parent,a)
    b=find_parent(parent,b)
    if a<b:
        parent[b]=a
    else:
        parent[a]=b

v,e=map(int,input().split()) #노드의 개수와 간선(union 연산)
parent=[0]*(v+1)

for i in range(1,v+1):
parent[i]=i

#union 연산
for i in range(e):
	a,b=map(int,input().split())
    union_parent(parent,a,b)
    
#출력(루트 노드가 같은 원소끼리는 동일한 집합)
for i in range(1,v+1):
	print(find_parent(parent,i),end=' ')
for i in range(1,v+1):
	print(parent[i],end=' ')

 

해당 부모테이블을 사용하면 순서대로 부모 노드를 거슬러 올라가야한다. 즉, 현재의 알고리즘을 그대로 이용하게 되면 노드 개수가 V개이고 find 혹은 union 연산의 개수가 M개일 때, 전체 시간 복잡도는 O(VM)이 되어 비효율적이다

 

-> find 함수는 '경로 압축'을 통해 최적화 가능. 경로 압축은 find 함수를 재귀적으로 호출한 뒤에 부모 테이블 값 갱신

def find_parent(parent,x):
	if parent[x] != x:
    	parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

 

함수 수정 시 각 노드에 대해 find 함수를 호출한 이후에, 해당 노드의 루트노드가 바로 부모노드가 되어 루트노드에 더욱 빠르게 접근할 수 있다. -> O(V+M(1+log(2-M/V)V))

 

서로소 집합을 활용한 사이클 판별

서로소 집합은 무방향 그래프 내에서의 사이클을 판별할 때 사용할 수 있다. 방향 그래프에서의 사이클 여부는 DFS를 이용하여 판별할 수 있다.

 

union 연산은 그래프에서 간선으로 표현될 수 있기 때문에 간선을 하나씩 확인하면서 두 노드가 포함되어 있는 집합을 합치는 과정을 반복함으로써 사이클 판별 가능

1. 간 간선을 확인하며 두 노드의 루트 노드 확인
2. 루트 노드가 서로 다르다면 두 노드에 대하여 union 연산 수행
3. 루트 노드가 서로 같다면 사이클이 발생한 것으로 판단
4. 그래프에 포함되어 있는 모든 간선에 대해 반복

 

그래프에 포함되어 있는 간선의 개수가 E개일 때 모든 간선을 하나씩 확인하며 매 간선에 대해 union 및 find 함수 호출

(A,B)간선을 확인 시, 노드 A와 노드 B가 이미 루트노드로 노드C를 가지고 있는 경우 -> 사이클 발생!

 

def find_parent(parent,x):
	# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
	if parent[x]!=x:
    	return find_parent(parent,parent[x])
    return parent[x]
    
def union_parent(parent,a,b):
    a=find_parent(parent,a)
    b=find_parent(parent,b)
    if a<b:
        parent[b]=a
    else:
        parent[a]=b

v,e=map(int,input().split()) #노드의 개수와 간선(union 연산)
parent=[0]*(v+1)

for i in range(1,v+1):
	parent[i]=i

################################# 동일 코드 ######################################
cycle=False

for i in range(e):
	a,b=map(int, input().split())
    if find_parent(parent,a) == find_parent(parent,b):
    	cycle=True
        break
    # 사이클이 발생하지 않았다면 합집합 수행
    else:
	union_parent(parent,a,b)

if cycle:
	print("사이클 발생")
else:
	print("사이클 발생X")